1의 보수, 2의 보수

컴퓨터를 포함한 각종 논리회로에서 음수를 표현하는 방법은 다음 3가지가 있다.

부호 절대값 (Sign-Magnitude)

1의 보수 (1's Complement)

2의 보수 (2's Complement)

그런데 실제로 널리 사용되는 것은 2의 보수 방식이다. 

이유는 회로가 간단해지기 때문이다. 

위의 세가지 방식을 각각 살펴보면서 장·단점을 비교해 보자.

1. 부호 절대값 (Sign-Magnitude)

부호 절대값 방식은 가장 쉽게 생각할 수 있는 방식이다. 

MSB(최상위비트)을 부호비트(0이면 양수, 1이면 음수)로 사용하고, 나머지는 절대값을 표현한다. 

4비트 정수를 예로 들면,

0000 +0      1000 -0

0001 1        1001 -1

0010 2        1010 -2

0011 3        1011 -3

0100 4        1100 -4

0101 5        1101 -5

0110 6        1110 -6

0111 7        1111 -7

그런데 부호 절대값 방식에는 몇 가지 문제가 있다. 

우선 0이 두 개(+0과 -0)나 존재하기 때문에, 둘 다 0으로 인식하도록 해야 한다. 

심각한 문제는 덧셈과 뺄셈을 할 때이다. 

인간이 직접 계산할 때처럼 부호와 절대값을 따로 분리해서 계산해야 하고, 음수를 더함으로써 뺄셈을 구현할 수가 없어서 뺄셈기를 따로 구현해야 한다. 그러면 인간이 덧셈과 뺄셈을 수행할 때의 과정을 살펴보자.

2(10) + 3(10) = 0 010 + 0 011 = 0 101 = 5(10)

(양수끼리 더했으므로 양수) <덧셈기 사용>

 

-2(10) + -3(10) = 1 010 + 1 011 = 1 101 = -5(10)

(음수끼리 더했으므로 음수) <덧셈기 사용>

3(10) - 2(10) = 0 011 - 1 010 = 0 001 = 1(10)

(절대값이 큰 수에서 작은 수를 뺐으므로 양수) <뺄셈기 사용>

2(10) - 3(10) = 0 010 - 1 011 = -(011 - 010) = 1 001 = -1(10)

(절대값이 작은 수에서 큰 수를 뺄 경우에는 순서를 바꿔서 빼고 결과는 음수) <뺄셈기 사용>

인간에게는 매우 쉬운 일이지만, 위의 모든 사항을 고려하여 계산을 수행하는 회로를 만드는 것은 쉬운 일이 아니다. 그리고 <, >, <=, >= 등의 비교연산을 수행할 때 다음과 같은 모순이 생긴다.

3(10) > 2(10) = 0011 > 0010 = TRUE

-2(10) > -3(10) = 1010 > 1011 = FALSE (???)

위와 같이 음수의 경우는 반대가 되므로 이를 구분해야 한다. 사실 비교연산은 뺄셈을 한 후 결과의 부호를 가지고 판단하기 때문에 이는 덧셈과 뺄셈 문제와 동일하다.

2. 1의 보수 (1's Complement)

1의 보수 방식은 부호 절대값 방식에서 단순히 음수의 순서를 뒤집은 것이다.

0000 +0      1000 -7

0001 1        1001 -6

0010 2        1010 -5

0011 3        1011 -4

0100 4        1100 -3

0101 5        1101 -2

0110 6        1110 -1

0111 7        1111 -0

음수의 순서를 뒤집기만 한 것이라 별것 아닌것 같지만 사실 엄청난 유리함이 있다. 우선 재미 있는 성질이 하나 생긴다. 비트를 반전시키면 부호가 바뀌게 된다. 다행히 비트반전은 쉽게 구현할 수 있다. 그리고 MSB가 0이면 양수, 1이면 음수라는 성질은 그대로 유지된다.

3(10) = 0011 >> 1100 = -3(10)

-6(10) = 1001 >> 0110 = 6(10)

뿐만 아니라 부호 절대값 방식에서 골치거리였던 것이 깔끔하게 해결된다. 부호와 절대값을 따로 계산하지 않아도 되고, 음수를 더하는 방식으로 뺄셈을 할 수 있게 된다. 단, 캐리가 발생하면 LSB(최하위비트)에 1을 더해줘야 한다.

2(10) + 3(10) = 0010 + 0011 = 0101 = 5(10) <덧셈기 사용>

-2(10) + -3(10) = 1101 + 1100 = 1001 + 0001 = 1010 = -5(10) (캐리 발생) <덧셈기 사용>

3(10) - 2(10) = 0011 + 1101 = 0000 + 0001 = 0001 = 1(10) (캐리 발생) <덧셈기 사용>

2(10) - 3(10) = 0010 + 1100 = 1110 = -1(10) <덧셈기 사용>

어째튼 덧셈과 뺄셈이 매우 간단해졌다. 음수의 비교연산 모순도 해결되었다.

3(10) > 2(10) = 0011 > 0010 = TRUE

-2(10) > -3(10) = 1101 > 1100 = TRUE

그런데 여전히 0이 두 개인 것과 캐리를 처리해야 하는 문제가 남아있다. 즉, 0000과 1111을 둘 다 0으로 처리해야 하고, 계산과정에 캐리가 발생됐는지 감시해서 LSB에 1을 더해주는 회로를 구성해야 한다.

3(10) - 3(10) = 0011 + 1100 = 1111 >> 0000

게다가 위와 같이 실제 계산과정에서 발생하는 0은 항상 -0인 1111이다.

 

3. 2의 보수 (2's Complement)

 

2의 보수 방식도 단순해서 그저 눈에 거슬리는 -0을 없애기만 한 것이다.

0000 0        1000 -8

0001 1        1001 -7

0010 2        1010 -6

0011 3        1011 -5

0100 4        1100 -4

0101 5        1101 -3

0110 6        1110 -2

0111 7        1111 -1

-0이 없어지고 대신 -8(10)이 등장한 것 외에는 별것 아닌것 같지만, 1의 보수 방식의 골치꺼리였던 -0 문제와 캐리를 처리해야 하는 문제가 사라진다. 2의 보수 방식에서는 부호를 바꾸려면 비트를 반전한 다음 LSB에 1을 더하면 된다.

3(10) = 0011 >> 1100 + 0001 = 1101 = -3(10)

-6(10) = 1010 >> 0101 + 0001 = 0110 = 6(10)

-0는 아예 없으니 이미 해결됐고, 이제 캐리를 처리하지 않아도 되는지 직접 계산해보자.

2(10) + 3(10) = 0010 + 0011 = 0101 = 5(10)

-2(10) + -3(10) = 1110 + 1101 = 1011 = -5(10) (캐리 발생)

3(10) - 2(10) = 0011 + 1110 = 0001 = 1(10) (캐리 발생)

2(10) - 3(10) = 0010 + 1101 = 1111 = -1(10)

위에서 캐리가 발생했을 때, LSB에 1을 더해주지 않아도 결과가 정확한 것을 확인할 수 있다. 이제 덧셈이든 뺄셈이든 그냥 더하기만 하면 된다. 이제 구현해야 하는 회로가 무척 간단해졌음을 느낄 것이다.

 

2의 보수 방식의 장점을 요약하면 다음과 같다.

 

* MSB가 0이면 양수, 1이면 음수라는 성질이 유지된다.

* 음수를 더하는 방식으로 뺄셈을 할 수 있다.

* 음수의 비교연산에서 발생하는 모순이 해결된다.

* 0이 두개나 존재하는 모순이 해결된다.

* 덧셈과 뺄셈을 구현할 때 캐리를 처리하지 않아도 된다.